Bir oteliniz var ancak sıradan otellerden çok farklı. Otelinizi farklı kılan şey oda numaralarının 1, 2, 3, 4, … şeklinde sonsuza kadar gidiyor olması. Uzun lafın kısası otelinizde en sonuncu diye bir oda yok, sonsuz odası var. İşin güzel yanı otelinize sonsuz sayıda müşteri taşıyan bir otobüs geliyor ve siz bunları 1’den başlayarak sırayla odalara yerleştiriyorsunuz.

Ancak o da ne? Tam işler bitti derken (sonsuz müşteri yerleştirme işi nasıl bitiyorsa 🙂 bir kişi daha çıkageliyor.  Bu müşteriye nasıl oda bulursunuz? Peki ya sonsuz sayıda müşteri taşıyan bir otobüs daha gelirse? Dahası var, ya sonsuz sayıda müşteri taşıyan sonsuz sayıda otobüs gelirse?

Hilbert’in Sonsuzluk Oteli

Alman matematikçi David Hilbert sonsuzluk kavramını anlamamızın ne kadar zor olduğunu bize göstermek için ünlü bir düşünce deneyi tasarladı. Sonsuz sayıda odası olan bir otel ve çok çalışkan bir gece müdürü hayal edin. Bir gece, sonsuz otel sonsuz sayıda konukla tamamen dolu, bütün odalar ayırtılmıştır. Otele bir adam girer ve bir oda ister. Gece müdürü, adamı geri çevirmek yerine ona bir oda açmaya karar verir. Nasıl mı?

+ 1 MÜŞTERİ

Kolay, 1 numaralı odadaki konuktan 2 numaralı odaya taşınmasını, 2 numaralı odadakinden 3’e taşınmasını rica eder, ve böyle devam eder. Bütün konuklar “n” oda numarasından “n+1” oda numarasına taşınır. Zaten sonsuz sayıda oda olduğu için oteldeki her konuk için yeni bir oda vardır. Böylece yeni müşteri için 1 numaralı oda boşalır. Bu işlem her sınırlı sayıda yeni müşteri için tekrarlanabilir. Eğer, diyelim ki, bir tur otobüsü otele oda isteyen 40 yeni kişi getirse, otelde olan bütün konuklar sadece “n” numaralı odadan “n+40” numaralı odaya taşınırlar, böylece ilk 40 odayı boşaltmış olurlar.

+ SONSUZ MÜŞTERİ

Ama şimdi sonsuz büyüklükte bir otobüs sayısal olarak sonsuz yolcuyla oda tutmak için otele yanaşır. “Sayısal olarak sonsuz” anahtar kelimelerdir. Şimdi, sonsuz yolculu sonsuz otobüs ilk bakışta gece müdürünün kafasını karıştırır ama gece müdürü her yeni kişiyi yerleştirmek için bir yol olduğunu fark eder. 1 numaralı odadaki konuktan 2 numaralı odaya geçmesini rica eder. Sonra 2 numaralı odadaki konuktan 4 numaralı odaya geçmesini, 3 numaralı odadaki konuktan 6 numaraya geçmesini ister, ve böyle devam eder. Her mevcut konuk “n” numaralı odadan “2n” numaralı odaya taşınır, böylece sadece sonsuz çift sayılı odaları doldururlar. Bu sayede gece müdürü sonsuz çoklukta bütün tek sayılı odaları boşaltmış ve bu odalara da sonsuz otobüsten inen insanları yerleştirmiştir. Herkes mutludur ve otelin işleri de her zamankinden daha tıkırındadır. Yani, aslında tamamen her zamankiyle aynı miktarda kazanmaktadırlar, zaten bir gecede hesaba sonsuz dolar yatmaktadır.

+ SONSUZ x SONSUZ MÜŞTERİ

Bu inanılmaz otelin şanı yayılır. Uzaktan yakından insanlar akın eder. Bir gece, inanılmaz bir şey gerçekleşir. Gece müdürü dışarı bakar ve sayısal olarak sonsuz yolcu taşıyan sonsuz büyüklükte otobüslerden sonsuz bir sıra görür. Ne yapabilir? Eğer hepsine birer oda bulamazsa otel sonsuz miktarda para kaybedecektir ve kendisi kesin işini kaybedecektir. Neyse ki M.Ö. 300 yılı civarında Öklid’in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtladığını hatırlıyordur. Sonsuz sayıda otobüs dolusu sonsuz sayıda yorgun yolcuya sonsuz sayıda yatak bulmak gibi neredeyse imkansız bir görevi tamamlamak için gece müdürü bütün mevcut konukları ilk asal sayı olan 2’nin mevcut oda sayılarıyla üssüne yükselterek çıkan sayılı odaya yerleştirir. Yani, 7 numaralı odanın mevcut sakini 2⁷ numaralı odaya, yani 128 numaralı odaya gider. Sonra, gece müdürü sonsuz otobüslerin ilkindeki insanları bir sonraki asal olan 3’ü otobüsteki koltuk sayılarıyla üssüne yükselterek sonuçta çıkan sayılı odalara yerleştirir. Mesela, ilk otobüste 7 numaralı koltukta oturan kişi 3⁷ numaralı odaya gider, yani 2,187 numaralı oda. Bu ilk otobüsteki herkes için devam eder. İkinci otobüsteki yolcular bir sonraki asal olan 5’in üslerine yerleştirilir. Bir sonraki otobüs, 7’nin üslerine. Her otobüs bunu takip eder: 11’in üsleri, 13’ün üsleri, 17’nin üsleri, vs. Bu sayıların her biri çarpan olarak sadece 1 ve asal sayılarının doğal sayı olan üslerine sahip olduğu için, çakışan hiçbir oda numarası yoktur. Bütün otobüslerin yolcuları farklı asal sayılara dayanan farklı yerleştirme düzenleriyle odalarına dağılır. Bu şekilde, gece müdürü her otobüsteki her yolcuyu ağırlayabilir. Buna rağmen, bir sürü oda boş kalacaktır Örneğin, 6 numaralı oda, çünkü 6 hiç bir asal sayının üssü değildir. Şans eseri, patronları matematikte o kadar iyi değil, yani işi güvende.

Gece müdürünün stratejilerinin mümkün olmasının tek sebebi, Sonsuz Otel her ne kadar mantıksal bir kabus olsa da, sadece sonsuzluğun en alt katmanıyla ilgileniyor. Esas olarak, doğal sayıların sayılabilir sonsuzluğu bu, 1, 2 ,3, 4 ve devamı. Georg Canter sonsuzluğun bu seviyesini alef-sıfır diye isimlendirmiştir. Oda sayıları ve otobüslerdeki koltuk sayıları için doğal sayılar kullanılır. Eğer sonsuzluğun daha yüksek düzenleriyle uğraşıyor olsaydık, örneğin gerçek sayıların kullanıldığı sonsuzluk, sistematik olarak her sayıyı dahil edecek bir yöntemimiz olmadığı için bu yapılandırılmış stratejiler artık mümkün olmazdı. Gerçek Sayılı Sonsuz Otel’in bodrum katta negatif sayılı odaları, kesirli odaları vardır, yani 1/2 numaralı odadaki her zaman 1 numaralı odadaki adamdan daha az yeri olduğundan şüphelenir. Kök 2 veya pi gibi numaralı karekök odalarda konuklar ikram tatlı bekler. Hangi özsaygısı olan gece müdürü sonsuz bir maaşa rağmen orada çalışmak ister ki? Fakat asla boş odası olmayan ve her zaman yer bulabileceğiniz Hilbert’in Sonsuz Oteli’nde, her vakit çalışkan ve belki de fazla misafirperver gece müdürünün karşılaştığı durumlar bize nispeten sonlu akıllarımızın sonsuzluk kadar büyük bir kavramı anlamasının ne kadar zor olduğunu hatırlatır. Belki de güzel bir uykudan sonra bu problemlerin çözümünde yardımcı olabilirsiniz. Ama doğrusu, sabahın 2’sinde odanızı değiştirmemiz gerekebilir.