Bilim adamları ve matematikçiler yaptıkları araştırmalar sonucu en verimli şeklin altıgenlerin birleşmesiyle oluştuğunu ispatlamışlardır. Maksimum kullanımı esas alan bu hesaplamalarda kusursuz altıgenlerle petek şekli oluşturulur. Bu matematik düzeni diğer geometrik şekiller ile mümkün olmamaktadır. Daire, beşgen ve sekizgen gibi şekillerde birleşimler sonrasında boşluklar veya kullanılmayan alanlar oluşması muhtemeldir. Kare ve üçgende ise, aynı hacmi doldurmak için gereken duvar çevresi daha fazla olacağından en az malzeme ile bir alanı en iyi şekilde bölmek için altıgen en ideal olan şekil tipidir.

Arılar doğanın gerçek usta mimarlarıdır. Kesiti düzgün altıgenler oluşturan prizma şeklindeki petek gözlerinin dipleri bir piramit oluşturarak sona ererler. Kovanlardaki şekliyle dik duran her petekte, petek gözleri, yatayla sabit bir açı yapacak şekilde inşa edilirler.

Her bir gözün derinliği 3 cm, duvar kalınlığı ise milimetrenin yüzde beşi kadardır. Bu kadar ince duvar kalınlığına rağmen altıgen yapı nedeniyle büyük bir direnç kazanırlar ve arıların depoladıkları kilolarca balı rahatlıkla taşıyabilirler.

Arıların, petekleri altıgen yapmalarının bir diğer sebebi ise beşgen, sekizgen veya daire şekillerini yaparken arada boşluklar kalmasıdır.

Eğer petekler kare olsaydı altıgene göre daha çok aşınırdı. Çünkü 90 derece açı darbeleri dik olarak keser. Fakat altıgen 60 derecelik bir açı ile kestiği için daha geç aşınır.

Ayrıca aynı alana sahip kare ve altıgenden, kenar uzunluğu daha kısa olan altıgendir. Bu sayede arılar küçük bir bölgeye -kareye oranla- daha fazla bal depolayabilirler.

Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematiksel bir bakış açısına sahip olmak gerekir.

Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm² olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür. Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir. Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır. Çerçeveyi, eşit alanlara sahip küçük daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.

Bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır. Meselâ eşit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir. Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgen de elde edilebilir.

James Webb Uzay Teleskobu‘nda (JWST) altıgen parçalar kullanılmasının nedenleri de katlanabilir aynaya izin veriyor ve arada boşluk kalmayacak biçimde birleştirilebilir olmasıdır. Eğer parçalar yuvarlak olsaydı, birleştirdikten sonra aralarda kaçınılmaz biçimde boşluklar oluşurdu.

Arılar da Matematik Yapabiliyor mu? cevabımız evet!