İçeriğe geç
Anasayfa » Fizik Time » Pascal üçgeni

Pascal üçgeni

Üçgen, adını 17. yüzyıl Fransız matematikçisi Blaise Pascal’ın adını almıştır. Blaise Pascal, özellikle, Fransız matematikçi Pierre de Fermat ile yazışmalarında olasılık teorisinin temellerini ortaya koymak için bu üçgeni kullanmıştır. Bununla birlikte, İtalya’da bu üçgen adını matematikçi Niccolò Tartaglia‘dan alır ve Tartaglia Üçgeni olarak bilinir. Ancak Pascal ve Tartaglia’dan çok daha önce aslında bu üçgen farklı isimler altında bilinmekteydi. İran’da ise konu hakkında çalışmalar yapan Ömer Hayyam’a ithafen Hayyam’ın üçgeni olarak bilinir. Çin’de de Yang Hui’nin Üçgeni adındadır. Pascal üçgenine yapılan en eski referanslar ise MÖ 450 yılı civarında Hindistan’da ortaya çıkmıştır. Hintli matematikçiler de üçgene Meru Dağı’nın merdivenleri der.

Pascal Üçgeni

Pascal Üçgenini Oluşturmak

fiziktime

Pascal üçgenini oluşturmak çok kolaydır. Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi, bir eşkenar üçgenin tepesine 1 yazılır. Bunun altına 1 , 1  sayılarını birinci satır olarak, gene şekildeki gibi yerleştirelim.  İkinci satıra  1 , 2 , 1  ve üçüncü satıra  1 ,  3 ,  3 ,  1   sayılarını yerleştirelim.  Bu işleme durmaksızın devam edebilmek için, üçgene sayı yerleştirme kuralını çıkaralım. 1.Şekle dikkat edersek, herhangi bir satırı yerleştirirken uyulan kuralı hemen  görebiliriz.  Satırdaki her öğe, üst satırda kendisine göre sol üstünde ve sağ üstünde yer alan iki sayının toplamıdır ve o ikisinin konumlarına göre orta dikme üzerindedir. Her satırın en solundaki ve en sağındaki sayılar daima  1 dir ve aynı kuralla bulunurlar. Sol kenar üzerindeki 1 lerin sol üst köşelerinde, sağdaki 1 lerin ise sağ üst köşelerinde sayı yoktur. Olmayan sayıları 0 sayarsak, genel kuralın kenardaki sayılar için de geçerli olduğu anlaşılır. Her satır ekleyişte yeni bir eşkenar üçgen ortaya çıkar.

1- Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı İlişkisi

Binom açılımı a + b gibi iki terimli ifadenin kendisiyle belirli sayıda çarpıldığında ortaya çıkan katsayıların (değişkenlerin önünde görünen sayılar) modelini ifade eder. Matematiksel olarak bu (a+b)n biçiminde yazılır. Aşağıdaki görselde açılımın katsayılarının Pascal üçgenindeki sayılar ile uyumlu olduğunu görebilirsiniz. Binom açılımının katsayıları ile Pascal üçgenindeki sayılar arasındaki bu ilişki, sayılar ve olasılık hakkında temel bir gerçeği ortaya çıkarır.

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1.a +1.b
(a + b)2 = 1.a2 + 2.a.b +1.b2
(a + b)3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 +1.b3
(a + b)4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 +1.b4
(a + b)5 = 1.a5 + 5.a4.b +10.a3.b2 +10.a2.b3 + 5.a.b4 +1.b5

2- Pascal Üçgeni ve Satırların Toplamları

Satırların Toplamı

Pascal üçgeninde bir satırın toplamı bir önceki satırın toplamının iki katıdır. Başka bir deyişle 2 nin kuvvetleridir.

3- Pascal Üçgeni ve Geometri

Köşegenler sol kenara paralel köşegenleri düşünelim. Sol kenar “1” sayılarından oluşur. Ona paralel olan ilk köşegen üzerindeki sayılar 1,2,3,… sayma sayılardır.

İkinci köşegen üzerindeki 1,3,6,10,15,21,… sayıları Üçgensel sayılardır.

Üçüncü köşegen üzerindeki 1,4,10,20,35,… sayıları piramitsel (tetrahedral) sayılardır.

Simetri nedeniyle, sağ köşegenler için de aynı şey söylenebilir.

Üçgensel Sayılar

üçgensel sayı dizisi

1’den n’ye kadar olan n doğal sayının toplamı şeklinde yazılabilen sayılara üçgensel sayılar denir. Bu sayılarla oluşturulmuş örüntüye ise üçgensel sayı dizisi denir.

Yukarıdaki tanımı örneklendirecek olursak:

1 üçgensel sayıdır.

3 üçgensel sayıdır çünkü 3 = 1+2

6 üçgensel sayıdır çünkü 6 = 1+2+3

bu listeyi bu şekilde uzatabiliriz.

Üçgensel sayıları bir örüntü şeklinde yazacak olursak: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, …

Bu sayılara üçgensel denmesinin sebebi, bir üçgen şeklinde dizilebilecek eşit çaplı topların sayılarına karşılık gelmeleridir. n ,inci üçgensel sayının formülü şöyledir

1’den n’ye kadar olan n doğal sayının toplamı

Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss, 1796'da her pozitif tam sayının en fazla üç üçgensel sayının toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlamıştır.

Karesel Sayılar

Bir tam sayının karesi şeklinde yazılabilen sayılara tam kare sayılar veya karesel sayılar denir. Bu sayılarla oluşturulmuş örüntüye ise karesel sayı dizisi denir.

Yukarıdaki tanımı örneklendirecek olursak:

1 karesel sayıdır çünkü 1 = 12

4 karesel sayıdır çünkü 4 = 22

9 karesel sayıdır çünkü 9 = 32

bu listeyi bu şekilde uzatabiliriz.

Karesel sayıları bir örüntü şeklinde yazacak olursak: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …

Ardışık tam kare sayıların toplamı formülü

4- Pascal Üçgeni ve Simetri

Üçgenin ortasına dikey bir simetri ekseni çizerseniz, bu simetriyi kolayca görebilirsiniz. Örneğin beşinci satırdaki 4'ler, altıncı satırdaki 10'lar ve yedinci satırdaki 15'ler bu eksene göre simetriktir.

5- Pascal Üçgeni ve 11'in Kuvvetleri

Pascal üçgenindeki satırlardaki sayıları yan yana tek bir sayı gibi okursanız 11'in kuvvetlerini bulursunuz. Bunun doğruluğu ise binom açılımında x=1, y=10 yazılarak görülebilir. Örneğin üçüncü satırdaki 1, 2, 1 sayıları bir araya getirildiğinde 11'in ikinci kuvveti olan 121 sayısını verir. Dördüncü satırdaki sayıların bir araya getirilmesi ile elde edilen 1331 sayısı ise 11'in üçüncü kuvvetidir. Katsayıların tek basamaklı olmadığı durumlar ise biraz daha karmaşıktır, fakat bu durumlarda da ufak bir çaba ile 11'in kuvvetleri bulunabilir.

6- Pascal Üçgeni ve Fibonacci sayıları

Fibonacci sayıları İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci’nin ortaya koyduğu bir sayı dizisidir. Fibonacci sayı dizisi ilk iki terim hariç her terimin kendisinden önceki iki terimin toplanmasıyla oluşturulan bir dizidir.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … şeklinde devam eder.

Pascal üçgeninde sol yandan sağ yukarı doğru diyagonal (çapraz) düzendeki her bir eleman toplandığında Fibonacci serisinin elemanları sırayla bulunabilmektedir. 

7- Pascal Üçgeni ve Mersenne sayıları

Kendi adıyla anılan Mersenne Sayıları ise Mn = 2n−1 şeklinde tanımlanan sayılardır.

Bazı kaynaklarda bir sayının mersenne sayısı olması için n’in doğal sayı olması gerektiği yazsa da genelde n’in asal sayı olması gerektiği kabul görmüştür.

Mersenne Sayıları Listesi:

n = 2 için 22−1 = 3

n = 3 için 23−1 = 7

n = 5 için 25−1 = 31

n = 7 için 27−1 = 127

n = 11 için 211−1 = 2047

Pascal üçgenini herhangi bir satırdan böler ve yukarıda kalan üçgendeki tüm sayıları toplarsanız Mersenne sayılarını verdiğini göreceksiniz.

7- Pascal Üçgeni ve Tam Kareler

İkinci çaprazdaki sayıların kareleri, üçüncü çaprazda bulunan bu sayının hemen yanındaki ve altındaki sayıların toplamına eşittir.

8-Pascal Üçgeni ve Sierpinski Üçgeni

Matematikçiler bu üçgenin içindeki sayıların örüntüsüyle ve özellikle bölünebilirliğiyle ilgilenir. Pascal üçgeninin sayılarının bölünebilirliğine göre renklendirilmesi, ilginç bir fraktal çeşidi üretir. Örneğin, ikiye bölünebilen tüm sayıların (tüm çift sayıların) renklendirilmesi sonucunda şekil Sierpinski üçgenine dönüşür.

Etiketler:

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.