6 bir mükemmel sayıdır. Çünkü 6’nın pozitif bölenleri 1,2,3 ve 6’dır. Kendisi hariç diğer bölenlerini toplarsak 1+2+3=6 eder.

Bunun gibi 28 de mükemmel sayıdır. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Diğer bir tanım, Matematikte bazı pozitif tam sayıların pozitif bölenleri toplamı, sayının kendisinin iki katına eşittir. Bu tür sayılara “mükemmel sayı” denir. Örneğin 6 sayısını ele alalım: 1, 2, 3 ve 6 bu sayının bölenleridir ve tüm bu bölenlerin toplamı, yani 1+2+3+6, sayının iki katı olan 12’ye eşittir. Bu yüzden 6 ilk mükemmel sayıdır. Aynı şekilde 28 de mükemmel bir sayıdır çünkü bölenleri toplamı, yani 1+2+4+7+14+28, sayının iki katı olan 56’ya eşittir. Bunlardan başka 496 ve 8128 de mükemmel sayılardandır. Bu sayıların mükemmel sayı olduğunu, bölenlerini toplayarak kendiniz de görebilirsiniz.

Mükemmel sayıların tarihi MÖ 500’e kadar uzanıyor. Pisagor o dönemde mükemmel sayıların farkındaydı ancak bu sayıları üretmek için gereken formül MÖ 300’lü yıllarda Öklid tarafından geliştirildi. Formülün ispatı ise bundan tam 2000 yıl sonra Euler tarafından gerçekleştirildi. Euler, teoremdeki formülün tüm mükemmel çift sayıları üreteceğini ispatladı. İspat günümüzde Öklid-Euler teoremi olarak biliniyor.

Öklid-Euler teoreminde asal sayılar büyük önem taşıyor.

Bu algoritma şu şekildedir. 2’nin bir asal kuvvetinin 1 eksiği asal ise (bunlara Mersenne Asalları diyoruz) bu sayı ile 2’nin bir önceki kuvvetinin çarpımı mükemmel sayıdır.

Mükemmel sayı bulma formülü = 2^p−1(2^p−1) 

Formüldeki p ve (2^p−1) sayıları asal sayı olmalıdır.

Buna göre ilk dört mükemmel sayı şunlardır:

p = 2 için:   2¹(2²−1) = 6

p = 3 için:   2²(2³−1) = 28

p = 5 için:   2⁴(2⁵−1) = 496

p = 7 için:   2⁶(2⁷−1) = 8128

Mükemmel sayılar kümesinin sonlu olup olmadığı veya tek sayı içerip içermediği henüz bilinmiyor. Fakat, şu ana kadar bilinen 51 mükemmel sayının hepsi çift sayıdır ve son rakamları 6 veya 8’dir.

Ayrıca herhangi bir mükemmel sayının bölenlerinin tersini alır toplarsak (bu toplama sayının kendisini de dahil ediyoruz), toplamları her zaman 2’ye eşit olacaktır. Mükemmel sayıların pozitif bölenlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 2’dir. Örnek olarak 6 mükemmel sayısını verelim. Pozitif çarpanları olan 1, 2, 3, 6’nın çarpmaya göre terslerini toplarsak:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2

Aşağıda bu durum ile ilgili bir kaç örnek görebilirsiniz.

2013 yılına kadar bulunan mükemmel sayılar:

Dikkat ederseniz bilinen bütün mükemmel sayılar çift sayılar. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel sayı bulunamamış. Yıllardır bilim adamları tek mükemmel sayı bulmaya veya tek mükemmel sayı olamayacağını ispatlamaya çalışıyorlar.