İçeriğe geç
Anasayfa » İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler

2.Derece Denklem Tanımı

a \ne 0 \ a, b, c \in \mathbb{R}

olmak üzere,     

ax2 + bx + c = 0

ifadesine x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan (varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi (doğruluk kümesi), çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir.

Bir ikinci dereceden denklemi sağlayan x değerlerine denklemin çözümlerikökleri ya da sıfırları denir. Denklemi sağlayan tüm x değerlerinden oluşan kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

f(x) = ax^2 + bx + c

ikinci dereceden bir denklemin kökleri, aynı zamanda f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsis değerleridir.

İkinci Dereceden Denklemlerin Kökleri ve Diskriminantı

İkinci dereceden bir denklem kökleri açısından üç farklı şekilde olabilir.

  • Denklemin iki farklı reel kökü vardır.
  • Denklemin tek bir reel kökü vardır.
  • Denklemin reel kökü yoktur, iki farklı karmaşık sayı kökü vardır.

İkinci dereceden bir denklemin bu üç durumdan hangisinde olduğunu anlayabilmemiz için denklemin diskriminantını hesaplamamız gerekir. Diskriminanta aynı zamanda denklemin deltası da denir ve Δ ile gösterilir.

ax^2 + bx + c = 0
\Delta = b^2 - 4ac
\quad \Delta \gt 0 \Longrightarrow

Diskriminant sıfırdan büyük ise denklemin iki reel kök vardır.

\quad \Delta = 0 \Longrightarrow

 Diskriminant sıfır ise denklemin çakışık reel kökü vardır.

\quad \Delta \lt 0 \Longrightarrow

Diskriminant sıfırdan küçük ise denklemin reel kökü yoktur, iki farklı karmaşık sayı kökü vardır.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

x_{1, 2} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}

Diskriminant Sıfırdan Büyükse

\Delta \gt 0

Deltanın sıfırdan büyük olması durumunda, köklü ifadenin sonucu bir reel sayı olacaktır ve birbirinden farklı iki reel kök oluşacaktır.

x_1 = \dfrac{ -b + \sqrt{\Delta} }{2a}
x_2 = \dfrac{ -b - \sqrt{\Delta} }{2a}

Bu durumda ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırarak yazabiliriz. Elde ettiğimiz bu iki kök değerini aşağıdaki denklemde yerine koyduğumuzda, ikisinin de ayrı ayrı denklemi sağlayacağını görebiliriz.

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) = 0

Oluşan bu köklerin değerleri birbirinin ters işaretlisi ise (x1 = −x2), bu köklere simetrik kökler denir. Bir denklemin simetrik kökleri varsa, b katsayısı sıfır olur.

Örneğin,

x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) = 0

Çözüm Kümesi;

\{ -3, 3 \}

Diskriminant Sıfırsa (Δ=0)

Diskriminant sıfır olması durumunda, denklemin kökleri formülündeki köklü ifade sıfır olacaktır ve aşağıdaki gibi tek bir reel kök oluşacaktır. Bu duruma çakışık kökler de denilmektedir.

x_1 = \dfrac{ -b \pm \sqrt{0} }{2a} = \dfrac{-b}{2a}

Bu durumda ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırarak yazabiliriz. Elde ettiğimiz bu tek kök değerini aşağıdaki denklemde yerine koyduğumuzda, değerin denklemi sağlayacağını görebiliriz. Ayrıca aşağıdaki denklem deltanın sıfır olduğu durumda denklemin her zaman bir tam kare ifade şeklinde yazılabileceğini göstermektedir.

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2 = 0

Denklemi çarpan şeklinde yazdığımızda bu kökün kuvveti iki olduğu için, bu köklere çift katlı kökçakışık kök ve eşit kök de denir.

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0

Çözüm kümesi,

Ç_k = \{ 2 \}

Diskriminant Sıfırdan Küçükse  (Δ<0)

Deltanın sıfırdan küçük olması durumunda, köklü ifadenin içi negatif değer alacaktır ve reel sayılarda tanımsız bir sonuç verecektir. Bu durumda reel sayı kök oluşmayacak, birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kök oluşacaktır.

İkinci Dereceden Denklemlerin Kökleri ve Katsayıları Arasındaki İlişki

Kökler Toplamı

x_1 + x_2 = \dfrac{ -b + \sqrt{\Delta} }{2a} + \dfrac{ -b - \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-2b}{2a}
x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

Kökler Çarpımı

x_1 \cdot x_2 = \dfrac{ -b + \sqrt{\Delta} }{2a} \cdot \dfrac{ -b - \sqrt{\Delta} }{2a}
= \dfrac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \dfrac{c}{a}
x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}

Köklerin Çarpmaya Göre Terslerinin Toplamı

\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}= -\dfrac{b}{c}

Kökler Farkı

x_1 - x_2= \dfrac{ -b + \sqrt{\Delta} }{2a} - \dfrac{ -b - \sqrt{\Delta} }{2a}
= \dfrac{2 \cdot \sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{\sqrt{\Delta}}{a}

Bunlara ek olarak, özdeşlikleri kullanarak ikinci dereceden bir denklemin kökleri arasında aşağıdaki ilişkileri kurabiliriz,

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
= \dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}

İkinci Dereceden Denklemin Kökler Cinsinden Yazılması

Köklerini bildiğimiz ikinci dereceden bir denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Denklemin kökleri,

x_1, x_2

T: Kökler toplamı,

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

Ç: Kökler çarpımı

x_1 \cdot x_2

olmak üzere,

Denklemin standart yazılışı,

\quad ax^2 + bx + c = 0

Denklemi başkatsayı parantezine alırsak,

\quad a(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}) = 0

Denklemin kökler cinsinden yazılışı,

\quad a(x^2 - Tx + Ç) = 0
\quad a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2) = 0
\quad a(x - x_1)(x - x_2) = 0

Kökleri Eşit Denklemler

Denklem 1

a_1x^2 + b_1x + c_1= a_1(x - x_1)(x - x_2)
= a_1x^2 \underbrace{- a_1(x_1 + x_2)}_{b_1}x+ \underbrace{a_1x_1x_2}_{c_1} = 0

Denklem 2

a_2x^2 + b_2x + c_2= a_2(x - x_1)(x - x_2)
= a_2x^2 \underbrace{- a_2(x_1 + x_2)}_{b_2}x+ \underbrace{a_2x_1x_2}_{c_2} = 0
\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}= \dfrac{c_1}{c_2}

İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırma

Karşılaştığımız ikinci dereceden denklemlerde çoğu zaman bizden istenen denklemi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırmaktır, bunun için de denklemin köklerini bulmamız gerekmektedir.

x_1, x_2

denklemin kökleri olmak üzere

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) = 0

İkinci dereceden denklemleri her zaman önceki bölümde gördüğümüz kök bulma formülünü kullanarak çarpanlarına ayırabiliriz.

x_{1, 2} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}

Bunun dışında kullanabileceğimiz (ve çoğu zaman daha hızlı sonuca ulaşabileceğimiz) diğer yöntem çarpanlara ayırma yöntemidir.

Örneğin aşağıdaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım,

2x^2 - x - 3

Birinci terimi iki çarpanına ayırıp bu çarpanları altındaki iki satıra yazalım.

2x^2 = 2x \cdot x

Benzer şekilde üçüncü terimi (−3) iki çarpanına ayırıp bu çarpanları altındaki iki satıra yazarız.

-3 = (-3) \cdot 1

Her iki çarpanlara ayırma işlemini yaparken, oklarla çapraz şekilde gösterilen ifadelerin çarpımlarının toplamının çarpanlarına ayırdığımız ifadenin ikinci terimine (-x) eşitliğini sağlamamız gerekir.

2x \cdot 1 + x \cdot (-3) = 2x - 3x = -x

 Bu örnekte bulduğumuz değer ikinci terime eşit olduğu için çarpanlara ayırmayı doğru şekilde yaptığımızı anlıyoruz. Bu işlem sonucunda üç terimli ifadenin çarpanları ilk satırındaki terimlerin toplamı (2x−3) ile altındaki terimlerin toplamının (x+1) çarpımı olmaktadır (2x−3)(x+1).

2x^2 - x - 3= (2x - 3)(x + 1)

Örnekler

Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

Örnek 1

x^2 + 4x - 21

Birinci terimi x ve x şeklinde, üçüncü terimi de +7 ve −3 şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz x⋅(−3)+x⋅7 = 4x Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluyoruz.

= (x + 7)(x - 3)

Örnek 2

2x^2 + 3x - 14

Birinci terimi 2x ve x şeklinde, üçüncü terimi de +7 ve −2 şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (2x⋅(−2)+x⋅7=3x). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluruz.

= (2x + 7)(x - 2)

Örnek 3

4x^2 + 17x - 15

Birinci terimi 4x ve x şeklinde, üçüncü terimi de −3 ve +5 şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (4x⋅5+x⋅(−3)=17x). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluruz.

= (4x - 3)(x + 5)

Soru 1

3x^2 + 7xy - 6y^2

Soru 2

\dfrac{x^2 - 5x + m}{x^2 - 4}

Değişken Değiştirme

İkinci dereceden bir polinom olmayan bazı denklemleri değişken değiştirme yöntemi ile dönüştürerek yukarıda bahsettiğimiz yöntemle çarpanlarına ayırabiliriz.

Örnek 1

x^4 + 4x^2 - 12 = 0

Yukarıdaki ifadede

t = x^2

değişken değiştirmesi yapalım.

\quad (x^2)^2 + 4(x^2) - 12 = 0
\quad t^2 + 4t - 12 = 0

Yukarıdaki ifadeyi ikinci dereceden bir ifade olarak çarpanlarına ayırabiliriz.

\quad (t + 6)(t - 2) = 0

Bu noktada t değişkenini tekrar x'e çevirerek ilk verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmış oluruz.

\quad (x^2 + 6)(x^2 - 2) = 0

Örnek 2

2\sin^2{x} - \sin{x} - 1 = 0

Değişken değiştirme yöntemini uygulayalım,

t = \sin{x}
\quad 2t^2 - t - 1 = 0

Yukarıdaki ifadeyi ikinci dereceden bir ifade olarak çarpanlarına ayırabiliriz.

\quad (2t + 1)(t - 1) = 0

bu noktada değişkeni eski haline getirirsek çarpanlarına ayırmış oluruz.

t = \sin{x}
\quad (2\sin{x} + 1)(\sin{x} - 1) = 0

Sosyal Medya Hesaplarımız