Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR

M.8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar.
M.8.1.1.2. İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar, ilgili problemleri çözer.
M.8.1.1.3. Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler.

1.Bölüm

Pozitif Tam Sayıların Tam Sayı Çarpanları

Bölme İşlemi

a, b, c, k

birer doğal sayı ve

b \ne 0

olmak üzere,

a: bölünen
b: bölen
c: bölüm
k: kalan olarak adlandırılır.

a = b . c + k

Bölünen sayı; bölen ile bölümün çarpımının, kalan ile toplamına eşittir.

0 \textcolor{blue}{\le} k \textcolor{red}{\lt} b

Kalan, bölenden küçüktür.

Kalansız Bölünebilme

Bir doğal sayı, bir sayma sayısına bölündüğünde kalan 0 (sıfır) oluyorsa bu işleme kalansız bölme işlemi denir ve “bu doğal sayı, o sayma sayısına tam olarak bölünüyor” veya “bu doğal sayı, o sayma sayısına kalansız bölünebiliyor” denir.

2 İle Bölünebilme Kuralı

Birler basamağındaki rakam 0,2,4,6,8 olan sayılar 2 ile kalansız bölünebilir. İki ile kalansız bölünebilen sayılara çift sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 0,2,4,6,8 olan sayılar çift sayılardır.

Örneğin, 120, 32, 2018 sayıları çift sayılardır ve 2 ile kalansız bölünebilirler.

*İki ile kalansız bölünemeyen (1 kalanını veren) sayılara tek sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 1,3,5,7,9 olan sayılar tek sayılardır. Örneğin; 121, 33, 2017 sayıları tek sayılardır ve 2 ile bölündüğünde 1 kalanını verirler.

3 İle Bölünebilme Kuralı

Bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı 3 ile kalansız (tam) bölünüyorsa bu sayı 3 ile kalansız (tam) bölünebilir.

Örneğin; 2352 sayısı 3 ile tam bölünebilir.

4 İle Bölünebilme Kuralı

Bir sayının 4 İle tam bölünebilmesi için 00 veya 4’ün katı olması gerekir.

Örneğin; 100, 344, 28 gibi sayılar tam bölünür.

5 İle Bölünebilme Kuralı

Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 veya 5 ise bu sayı 5’e kalansız bölünebilir.

Örneğin; 100, 345, 455 gibi sayılar tam bölünür.

6 İle Bölünebilme Kuralı

Bir sayı hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünebiliyorsa bu sayı 6 ile kalansız bölünebilir. Yani rakamları toplamı 3’ün katı olan çift sayılar 6’ya tam bölünebilir.

Örneğin; 102, 342, 96 gibi sayılar tam bölünür.

8 İle Bölünebilme Kuralı

Sayının son üç basamağının 000 ya da 8 in katı olması gerekir.

Örneğin; 1000, 1200, 1592 gibi sayılar 8 ile tam bölünür.

9 İle Bölünebilme Kuralı

Sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 veya 9’un katı olması gerekir.

Örneğin; 108, 1350, 468 gibi sayılar 9 ile tam bölünür.

10 İle Bölünebilme Kuralı

Sayının birler basamağı 0 ise o sayı 10’a bölünür.

Örneğin; 10, 50, 560, 1010 gibi sayılar 10 ile tam bölünür.

11 İle Bölünebilme Kuralı

Bir sayının 11’e tam olarak bölünebilmesi için, rakamların altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, … işaretleri yazılır, ardından artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, farkı alınır. Eğer toplam 0 ise sayı 11’e tam bölünür.

Örneğin; 121, 209 gibi sayılar 11 ile tam bölünür.

Aşağıdaki hesaplama aracımızdan sayıların hangi sayılara tam bölündüğünü kontrol edebilirisiniz.

BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI & BÖLENLERİ

Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.

Herhangi bir pozitif tam sayının çarpan veya bölenleri bulunurken bölünebilme kurallarından faydalanırsak kolay işlem yapmış oluruz.

24 sayısının pozitif çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.

24 = 1 x 24

24 = 2 x 12

24 = 3 x 8

24 = 4 x 6

Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24’ün çarpanlarıdır. Bu çarpanlar aynı zamanda 24’ün kalansız bölenleridir.

24’ün Pozitif Çarpanları & Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür.

60 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım.

60’ı iki sayının çarpımı şeklinde yazarsak aşağıdaki sonuçları elde ederiz.

60 = 1 x 60

60 = 2 x 30

60 = 3 x 20

60 = 4 x 15

60 = 5 x 12

60 = 6 x 10

60’ın Pozitif Çarpanları & Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır.

Alıştırmalar

Soru 1

Aşağıda verilen sayıların çarpanlarını bulunuz.

20 = ?
24 = ?
42 = ?
12 = ?
343 = ?
50 = ?

60 = ?
40 = ?
91 = ?
180 = ?
200 = ?
144 = ?

64 = ?
18 = ?
32 = ?
45 = ?
360 = ?
243 = ?

Aşağıdaki hesaplama aracımızdan Alıştırmada verilen sayıların çarpanlarını kontrol edebilirisiniz.

Factors and Prime Factors

Soru 2

24 sayısının pozitif çarpanlarının toplamı kaçtır?

Soru 3

45 sayısının pozitif çarpanlarının kaç tanesi iki basamaklıdır?

Soru 4

50 sayısının bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır?

Soru 5

1, 2, x, 4, y, 9, 12, 18, z
sayıları bir doğal sayının tüm pozitif çarpanları olduğuna göre x+y-z kaçtır?

Soru 6

Alanı 42 cm² olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları bir tam sayı olduğuna göre çevre uzunluğunun alabileceği değerleri bulunuz.

Soru 7

Alanı 50 cm² olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları bir tam sayı olduğuna göre çevre uzunluğunun alabileceği değerleri bulunuz.

Gökkuşağı Modeli

Bir doğal sayının çarpanlarını aşağıdaki gökkuşağı modelini kullanarak da gösterebiliriz. Örneğin 28’in çarpanlarını bulup gökkuşağı modeli ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

LGS'de ne gelir?

♛LGS 2018 Çıkmış Soru

Yukarıda her bir bölümü dikdörtgen şeklinde olan dikdörtgen biçimindeki kat planı üzerinde bazı bölümlerin alanları verilmiştir.

Bu dikdörtgenlerin her birinin kenar uzunlukları metre cinsinden birer doğal sayı olduğuna göre alanı verilmeyen bölümlerin alanları toplamı en az kaç metrekaredir?

A) 36 B) 54 C) 64 D) 76

ASAL SAYILAR

Pozitif çarpanları & bölenleri 1 ve kendisi olan 1’den büyük sayılara asal sayılar denir.

1 ile 100 ARASINDAKİ ASAL SAYILAR:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97

olmak üzere 25 adettir.

1 asal sayı değildir.
En küçük asal sayı 2'dir.
Asal sayılar arasında 2'den başka çift sayılar bulunmamaktadır.
1'den 50'ye kadar 15 asal sayı vardır.
1'den 100'ye kadar 25 asal sayı vardır.
51, 57, 91 asal sayı değildir.

Aşağıdaki hesaplama aracımızdan Alıştırmada verilen sayıların asal olup olmadıklarını kontrol edebilirisiniz.

Eratosthenes Kalburu iki sayı arasındaki asal sayıları bulmak için oldukça kullanışlı,eğlenceli ve basit bir yöntem.

1’e asal sayı olmadığı için çarpı işareti koyun.
2’yi bir asal sayı olduğu için daire içine alın, daha sonra 2’nin tüm katlarına çarpı işareti koyun.
3’ü de daire içine alın ve katlarına da çarpı işareti koyun.
5’i daire içinde alın ve katlarına da çarpı işareti koyun.
7’i daire içinde alın ve katlarına da çarpı işareti koyun.

100’e kadar olan tüm sayılara bu işlemi uygularsanız, 100’e kadar olan asal sayıları bulursunuz. Bulduğunuz asallarla 1000’e kadar olanları, onlarla 1.000.000’a kadar olanları da bulursunuz ve bu sonsuza kadar gider. Bu yönteme Eratosthenes’in Kalburu denir.

Aralarında Asal Sayılar

İki ya da daha fazla doğal sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.

Bir grup sayının aralarında asal olması için bu sayıların kendilerinin asal olması gerekmez, önemli olan sayıların 1 dışında pozitif ortak böleni olmamasıdır.

Negatif sayılar asal olamasalar da aralarında asal olabilirler.

Ardışık iki pozitif tek sayı her zaman aralarında asaldır.

81 ve 83 aralarında asaldır.

Aralarında asal iki sayının toplamları ve çarpımları olan iki sayı da aralarında asaldır.

5 ve 7 aralarında asaldır. Dolayısıyla 5 + 7 = 12 ve 5 x 7 = 35 de aralarında asaldır.

Örnek

\frac {x-3} {y+2}= \frac {14} {10}

eşitliğinde (x-3) ile (y+2) aralarında asaldır. Buna göre;

\frac {x} {y}

kaçtır?

Çözüm

\frac {x-3} {y+2}= \frac {14} {10}

eşitliğinde 10 ve 14 aralarında asal oluncaya kadar sadeleştirilir.

\frac {x-3} {y+2}= \frac {2.7} {2.5} = \frac {7} {5}

{x-3}=7

{x}=7+3=10

{y+2}=5

{y}=5-2=3

\frac {x} {y}= \frac {5} {3}

olarak bulunur.

Alıştırmalar - 2

Soru 1

1A sayısı iki basamaklı bir asal sayı ise A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır ?

Soru 2

İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının farkı kaçtır ?

ASAL ÇARPANLAR

Bir doğal sayının çarpanlarından asal sayı olanlara o sayının asal çarpanları denir.

75 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

Örneğin, 75 sayısının tüm çarpanları 1, 3, 5, 15, 25, 75 olup; bunlar arasında asal sayı olanlar 3 ve 5'tür. O halde 75 sayısının asal çarpanları 3 ve 5'tir.

Örneğin, 24 sayısının tüm çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 olup; bunlar arasında asal sayı olanlar 2 ve 3'tür. O halde 24 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.

Bir doğal sayının hangi asal sayıların çarpımından meydana geldiğini iki yöntemle bulabiliriz.

Yöntem Asal Çarpanlar Algoritması (Bölen Listesi)
Çarpan Ağacı Yönetimi

Yöntem Asal Çarpanlar Algoritması (Bölen Listesi)

Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1’i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

72 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım.

2’den başlayarak asal sayılara sırayla bölüyoruz.

1’i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında kalan sayılar 72’nın asal çarpanlarıdır.

72 = 2³ . 3² olarak bulunur.

Çarpan Ağacı Yönetimi

Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız. Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

Örneğin; 60 sayısını çarpan ağacı yöntemi ile çarpanlarına ayıralım.

60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır.

60 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali

60 = 2² . 3 . 5 ‘tir.

Örneğin; 24 sayısını çarpan ağacı yöntemi ile çarpanlarına ayıralım.

24 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 24 = 2³ . 3¹ olarak bulunur.

Bölen & Çarpan Sayısı

Bir A sayısının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpan kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Bir bölenin negatif işaretlisi de aynı sayının böleni olduğu için pozitif ve negatif tüm bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşittir.

A = x^a \cdot y^b \cdot z^c

Pozitif bölenlerin sayısı

= (a + 1)(b + 1)(c + 1)

olarak bulunur.

Örneğin;

360 sayısının pozitif bölen sayısını bulalım,

Asal Çarpanları: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5

360 = 2³ . 3² . 5¹

üsleri bir arttırıp çarpmamız gerekiyor.

(3+1) . (2+1) . (1+1) = 4 . 3 . 2 = 24 adettir.

Kontrol edelim;

1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24 30 36 40 45 60 72 90 120 180 360

olmak üzere 24 adet olarak bulunur.

Soru 1

24 sayısının pozitif çarpan sayısı kaçtır?

Çözüm

24 sayını asal çarpanlarına ayrılmış şekilde yazalım.

24 = 2³ . 3¹ dir.

(3+1) . (1+1) = 4 . 2 = 8

adet olarak bulunur.

Kontrol edelim,

1 2 3 4 6 8 12 24

Soru 2

200 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazıp inceleyelim.

200'ün asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:

200 = 2^3 \cdot 5^2

Asal bölenler:

2, 5

Asal bölenlerin toplamı:

2 + 5 = 7

Asal bölenlerin sayısı:

Pozitif bölenlerin sayısı:

(3+1) . (2+1) = 4 . 3 = 12

Pozitif bölenler:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı:

12 . 2 = 24

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı:

12 - 2 = 10

Asal olmayan pozitif bölenler:

2 ve 5 hariç pozitif bölenler

Asal olmayan bölenlerin sayısı:

24 -2 = 22

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı:

(2+1) = 3

Tek sayı pozitif bölenler:

1, 5, 25

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı:

12 - 3 = 9

Çift sayı pozitif bölenler:

Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler.

200 sayısının 12 pozitif böleninin çarpımını hesaplayalım.

= \sqrt{200^{(3 + 1)(2 + 1)}} = 200^6

olarak bulunur.

SAYI