İçeriğe geç
Anasayfa » Fizik Time » Altın Oran

Altın Oran

Altın oran, matematikte iki miktardan büyük olanın küçüğe oranı, miktarların toplamının miktarların büyük olanına oranı ile aynı ise altın orandır.

Bir doğru parçasının |AB| altın oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın |AC| büyük parçaya |CB| oranı, büyük parçanın |CB| bütün doğruya |AB| oranına eşit olsun.

Altın oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894...'tür. -noktadan sonraki ilk 15 basamak- Bu oranın kısaca gösterimi: {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} dir. altın oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, Fi yani φ'dir.

İlk olarak kimler tarafından keşfedildiği bilinmese de, Mısırlılar’ın ve Yunanlılar’ın bu konu üzerinde yapmış oldukları bazı çalışmalar olduğu görülmektedir. Öklid, milattan önce 300′lü yıllarda yazdığı “elementler” adlı tezinde “ekstrem ve önemli oranda bölmek” olarak altın oranı ifade etmiştir. Mısırlıların Keops Piramidinde, Leonardo da Vinci’nin “İlahi Oran” adlı çalışmada sunduğu resimlerde  kullanıldığı bilinen "altın oran" , “Fibonacci Sayıları” olarak da bilinmektedir.

Orta Çağ’ın en ünlü matematikçisi olan İtalyan kökenli Leonardo Fibonacci, birbiri arasında ardışık ilişki ve olağanüstü bir oran bulunduğunu iddia ettiği sayıları keşfetmiş ya da diğer bir görüşe göre de Hint-Arap medeniyetinden öğrenmiş ve Avrupa'ya taşımıştır. Evrendeki muhteşem düzenle birebir örtüşen bu sayıları keşfetmesi nedeniyle, altın orana da adının ilk iki harfi olan “Fi” (Φ) sayısı denilmiştir. 

Bir yapı ya da sanat eserinin altın orana yakınlığı, onun aynı zamanda estetik olarak güzelliğinin bir ölçüsü olarak kabul görmüştür.

Bir doğru parçasının (AC) Altın Oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (B) bölünmelidir ki;  küçük parçanın (AB) büyük parçaya (BC) oranı, büyük parçanın (BC) bütün doğruya (AC) oranına eşit olsun. 

Bildiğimiz gibi matematikte 3.14 sayısına karşılık gelen ve bir dairenin çevresinin çapına bölünmesiyle elde edilen sayıya Pİ (∏) sayısı denir. Aynı Pİ sayısı gibi altın oran da matematikte 1.618 e eşit olan sayıya denir ve Fi(φ) simgesiyle gösterilir ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894...'tür. 

Bu oranın kısaca gösterimi;

AOKare1.jpg

Bir kareyi tam ortasından iki eşit dikdörtgen oluşturacak şekilde ikiye bölelim.

AOKare2.jpg

Dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya pergelimizi koyalım.

Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.

AOKare3.jpg

Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.

AOKare4.jpg

Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.

AOKare5.jpg

Karenin taban uzunluğun (A) İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğuna (B) oranı altın oran'dır. Büyük dikdörtgenin taban uzunluğunun (C) Karenin taban uzunluğuna (A) oranı da altın oran'dır. A / B = C / A = Altın oran ≈ 1.6180339...

AOKare6.jpg

Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir altın dikdörtgendir. Çünkü uzun kenarının, kısa kenarına oranı 1.6180339... dur, yani altın orandır.

AOKare7.jpg

Artık bu dikdörtgenden her bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, bir altın dikdörtgen olacaktır.

AOKarecik.jpg

İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu altın Dikdörtgen'in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir altın Spiral elde ederiz.

Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir.

AOKenar.jpg

Fibonacci sayıları

Matematikteki Fibonacci sayıları , aşağıdaki gibi özyinelemeli olarak tanımlanan bir dizi oluşturur :

  • F (0) = 0
  • F (1) = 1
  • F (n) = F (n-1) + F (n-2)

0 ve 1 ile başlar ve serinin sonraki her üyesi, önceki ikisinin toplamı olarak elde edilir. İlk Fibonacci sayıları:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

FİBONACCİ DİZİSİ KURALI

Fibonacci sayı dizisinin kuralını matematiksel olarak ifade etmede n’inci Fibonacci sayısını F(n) olarak gösterelim. Buna göre fibonacci sayı dizisi genel terimi şu şekilde yazılır:

Fibonacci sayılarının ilginç özellikleri vardır. Mesela n sayısı büyüdükçe iki ardışık Fibonacci sayısının oranı Altın oran’a yani 1.618… e yakınsar.

Fibonacci Tavşan Problemi

İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci’nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?

1 Ocak:           1 çift tavşanımız var.

1 Şubat:           Henüz yeni yavrulama olmayacağı için, tavşan sayımız 1 çiftten ibarettir.

1 Mart:            İlk çiftten iki ay sonra ilk yavru çift doğacağı için 2 çift tavşanımız olur.

1 Nisan:           İlk çift yeni bir çift daha yavrular, ama Mart ayında doğan çift henüz yavru vermeyecektir. Tavşan sayımız 3 çift olur.

1 Mayıs:          Ocak ve Mart doğumlu çiftlerden birer çift doğar, Nisan doğumlu çift henüz yavru vermez. Tavşan sayımız 5 çift olur.

1 Haziran:        Ocak, Mart ve Nisan doğumlu çiftler birer çift yavru verir, Mayıs doğumlu çiftler henüz yavru vermez. Tavşan sayımız 8 çift olur.

1 Temmuz:      Ocak, Mart, Nisan ve Mayıs doğumlu çiftler birer çift yavru verir, Haziran doğumlu çiftler henüz yavru vermez. Tavşan sayımız 13 çift olur.

1 Ağustos:       Ocak, Mart, Nisan, Mayıs ve Haziran doğumlu çiftler birer çift yavru verir, Temmuz doğumlu çiftler henüz yavru vermez. Tavşan sayımız 21 çift olur.

1 Eylül:            Ocak, Mart, Nisan, Mayıs, Haziran ve Temmuz doğumlu çiftler birer çift yavru verir, Ağustos doğumlu çiftler henüz yavru vermez. Tavşan sayımız 34 çift olur.

1 Ekim:             Ocak, Mart, Nisan, Mayıs, Haziran, Temmuz ve Ağustos doğumlu çiftler birer çift yavru verir, Eylül doğumlu çiftler henüz yavru vermez. Tavşan sayımız 55 çift olur.

1 Kasım:          Ocak, Mart, Nisan, Mayıs, Haziran, Temmuz, Ağustos ve Eylül doğumlu çiftler birer çift yavru verir, Ekim doğumlu çiftler henüz yavru vermez. Tavşan sayımız 89 çift olur.

1 Aralık:          Ocak, Mart, Nisan, Mayıs, Haziran, Temmuz, Ağustos, Eylül ve Ekim doğumlu çiftler birer çift yavru verir, Kasım doğumlu çiftler henüz yavru vermez. Tavşan sayımız 144 çift olur.

Şimdi, yukarıda her ay için elde ettiğimiz çiftlerin sayılarını sırayla bir dizi biçiminde yazalım:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

Bu dizide şu özeliği hemen farkedebiliriz:

Dizinin her terimine bir önceki terim eklenince bir sonraki terim elde ediliyor.  

Sözle ifade ettiğimiz bu kuralı matematiksel simgelerle ifade etmek için bu dizinin terimlerini, soldan sağa doğru, F(1), F(2), ... , F(12) diye adlandıralım. Başlangıç saydığımız Ocak ayındaki tavşan çifti sayısını F(1) simgesiyle, Şubat ayındaki tavşan çifti sayısını F(2) simgesiyle gösterdik. Sırayla devam ederek, Aralık ayındaki tavşan çiftlerinin sayısını F(12) ile gösterdik. Kuralı her terime uygularsak

F(1)  =1

F(2) = 1

F(3) =  F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5

F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 =  8

F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 =  13

F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 =  21

F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 =  34

F(10) = F(9) + F(8) = 34 + 21 =  55

F(11) = F(10) + F(9) = 55 + 34 =  89

F(12) = F(11) + F(10) = 89 + 55 =  144

eşitliklerini yazabiliriz.

Çoğalma süresini 12 ay yerine 24 ay ya da  48 ay yapsak aynı kuralı uygulayarak, oluşacak çiftlerin sayısını bulabiliriz. Süreyi kaldıralım ve oluşumun süresiz devam ettiğini varsayalım. Tabii, bu durumda, tavşanları da unutup, olayı daha soyut biçime koyabiliriz.

Öyle bir sayı dizisi kuralım ki, bu dizide her bir terime kendisinden önceki terim eklenince kendisinden sonraki terime eşit olsun.

Sözle ifade ettiğimiz bu kuralı matematiksel simgelerle ifade etmek için bu dizinin terimlerini, soldan sağa doğru  F(1), F(2), ... , F(n) , ...  diye adlandıralım. Bunu matematikte, kısaca,

            {F(n)} , (n=1,2,...)

simgesiyle gösteririz. (n=1,2,...) simgesi, n damgasının (index) sırayla bütün doğal sayıları tarayacağı anlamına gelir. Böylece sonsuz sayıda terimi olan bir dizi oluşur. Yukarıdaki kuralı simgelerle yazınca

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n+1) = F(n) + F(n – 1)  , (n= 2, 3, ...)

eşitliği ortaya çıkar. Yukarıdaki eşitlikler, sonsuz terimli Fibonacci dizisinin bütün terimlerini üretir. Bu dizinin ilk 23 terimi aşağıdadır.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657,46368, 75025, …

Pascal üçgeninde sol yandan sağ yukarı doğru diyagonal (çapraz) düzendeki her bir eleman toplandığında Fibonacci serisinin elemanları sırayla bulunabilmektedir.

Fibonacci Dizisinin Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler


1) Ayçiçeği: Ayçiçeği’nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur.

3) Fibonacci Dizisinin Fark Dizisi: Fibonacci Dizisindeki ardışık terimlerin farkıyla oluşan dizi de Fibonacci Dizisidir.

4) Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar.

5) Tavşan: Zaten sorumuz tavşanla alakalı

6) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi’nin ardışık terimleridir.

7) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş’ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde Karbondioksit alarak Fotosentez’i mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

8 ) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu’nda da vardır.

9) Mimar Sinan: Mimar Sinan’ın da bir çok eserinde Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri’nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.